自分が勉強した本まとめ。数学や機械学習やエンジニア関連。
自分が勉強した本まとめ
数学科の学生だった私が、IT 業界に就職して機械学習エンジニアになった中で思い入れのある本や面白かった本などの紹介を書いていきます。
ジャンルとしては数学・統計・機械学習あたりをメインに、一部は物理やエンジニアやクラウド関連の書籍も紹介できればと思います。
学生時代の本（主に数学科の基礎的な本）
微分積分学（数学シリーズ） 難波誠 裳華房
最初に紹介する本は、難波誠先生の微分積分学。
大学の指定教科書だった。当時は、ε-δ に初めて出会い（最初は ε-N からだが）、その厳密さに大変感動した。演習も一通り解き、今でも一部の問題は覚えている。
ε-δ の問題や数学的に厳密な証明が展開されていくのが好きだったのだが、途中の一部の証明（重積分の変数変換あたり）には ε-δ を使っていなかったり、ベクトル解析周りの定理（ガウスの定理等）には証明がのっていなかったため当時は不満だった。
それでも、自分を大学数学が面白いと思わせてくれた本で、今でも思い入れがあり、ここで最初に紹介させてもらった。
解析入門1 杉浦光夫 東京大学出版会
二番目に紹介する本は、解析入門 1 。
こちらは当時の大学指定の参考書だった。
私は1年生の頃に、参考書として指定されていたので普通に買ったのだが、周りの学生を見ると買った人間はごくわずかだった。それもそのはずで、ほとんどの学生はまともに読めないほど難しいからである。（私も当時は全然読めなかった。）
実際にちゃんと読み始めたのは、学部3年生くらいのころだった記憶がある。次の年に院試を控えており、上に書いた難波誠先生の本だけでなく、こちらもちゃんと理解しておいた方が良いかなと思ったのがきっかけだった。
1年ほどかけて読み（解析入門2も）、ほぼすべての演習も解いた。（この本の演習を全部解いた人はリアルでは見たことがなく、当時の自分はかなり頑張ったと思う。）
難波誠先生の本に記載されていない定理の厳密な証明はこちらで読んだ。（今思えば、難波先生の本に記載されてない証明は直感的には容易であり、厳密にやろうとすると煩雑になり書面を圧迫するだけだから記載がなかったのだろうと推測できる。）
当時驚いたのは、解析入門1, 2ではルベーグ積分を扱わないはずなのだが、普通に測度の話は登場しており、「関数の不連続点が零集合だったらリーマン積分可能」等のリーマン積分だけでどこまで積分できるかというような、重箱の隅をつつくような定理がたくさん記載されていた。（普通はルベーグ積分を使う。）
このように、非常に厳密な本であり、大量の演習問題もついており、この本のおかげで今まで頑張ってこられたのだと思う（？）。そのため、非常に思い入れがあり、ここで紹介させてもらった。
線形代数入門 斎藤正彦 東京大学出版会
大学の指定教科書だった。当時の大学のカリキュラムがおかしく、まだ集合論をまともに習っていない状態なのに、集合論を（非常に基礎的な部分ではあるが）既知として講義が進められており、講義内容も線形空間の定義等といったいきなり抽象的なものからスタートするため、ほとんどの学生が早々に脱落していった。
そんな状態のなか、この本はなんとか自分で読み進めることができ、演習も半分くらいは解いたと思う。線形空間が本質的にはベクトルと行列の操作であり、線形常微分方程式等の一見、行列と関係なさそうなものが行列の対角化を使って解くことが出来る事等に非常に感動した。一方で、この本のジョルダン標準形の証明は単因子論が使われており、当時は何とか理解したつもりだったが、今ではほとんど細部を覚えておらず、ジョルダン標準形の証明の流れは別の川久保先生の本ベース（後で紹介するかも）で自分の中で証明の流れを組み立てた。
そんな一部心の残り？がある本ではあるが、今でも自分の中に非常に思い入れがあるのでここで紹介した。時間が出来たら単因子論のジョルダン標準形の証明の流れも自分で再生できるようになりたい。
集合・位相入門 松坂和夫 岩波出版
数学科にとって微積線形ときたら、次は集合・位相。
大学指定の参考書だったと思う。
非常に証明等がわかりやすく書いてるのが印象的で、位相空間の種々の定理はこの本のおかげで頭の中で再生できるようになったと思う。
自分の中でしっかりと位相空間のイメージを持つことができた本ということで、非常に思い入れがある。
ルベーグ積分入門 伊藤清三 裳華房
学部三年生の時に読んだ。
特に教科書や参考書の指定でもなかったように思うが、当時周りでもっと有名だった本なので買って読んでいた。（当時は旧版だった。）
最初の方の測度の一般論は苦しかった。なぜ積分を学ぶのにこんな事を勉強しないといけないのだと思いながら勉強した。（後から、ほとんどの人が同じ思いをしていたことを知る。）一度、測度の苦しみから抜け出すと、非常に面白くわかりやすくルベーグ積分の論理が展開されていく。リーマン積分とは異なり、値域で分割して下から敷き詰めていくアイデアや、無限区間の積分を数列の絶対収束性のアナロジー（＋と－を分けて両方収束してないとルベーグ積分不可能）で定義する等非常に感動した。
中でも積分と極限の順序交換が可能となるルベーグの収束定理は、しばらくは私の中で一番お気に入りの定理だった。
この本で、上記の事以外に、 L^p 空間やフーリエ変換を学んだことが、自分の進路を解析に決定づけた。そのため、この本は今でも非常に思い入れがある。
関数解析 共立数学講座 黒田成俊
こちらも学部三年の時に読んだ。
当時はなんとなく必要そうだからというような理由で勉強した気がする。（大学のカリキュラムにも組まれていたが、扱う範囲が狭かったので自分で勉強していた。）
いざ勉強を始めてみると、微分等の関数の操作を無限次元線形代数の線形作用素として一般化して扱っていくのは非常に面白かった。中でも、フーリエ級数展開を正規直交規定として扱い（今思えば当たり前なのだが）線形代数のように方程式の解を求めたり、関数や偏微分方程式をソボレフ空間やヒレ吉田の定理などのように無限次元のベクトルと作用素として扱う事が非常に楽しかった。
微分方程式の基礎 笠原 晧司 朝倉書店
数学科向けの常微分方程式の入門書。
学部三年くらいの時に購入。
最初は、求積法などの初等的な常微分方程式の解法を行い、解の一意性、非線形方程式の理論などが記載されている。
特に非線形の方法をこの本で初めて勉強したのだが、非線形の方程式を不動点周りで線形近似を行い、解軌道を得るという手法には非常に感動した。
上記手法を学んだおかげで、大学院時代にAllen-Cahn-南雲方程式の進行波解で似たような事を勉強する際に、「あぁ、あれね」という感覚になれた。
わかりやすく全体的にコンパクトにまとまっており、この本のおかげで常微分方程式の基礎を学ぶことができた。
多様体の基礎 松本幸夫 東京大学出版会
ずっと解析系の本だったのでここで幾何の本を紹介。
学部三年の時に購入。半年くらいで読み切ってしまった。
大学の指定教科書だった。すでに講義とは別に、松島先生の多様体入門の方で勉強を進めていたが接ベクトルの説明がさっぱりわからなかった（多様体入門だと1ページくらいしか説明がない）ため、こちらの本に切り替えて勉強をした。
接ベクトルに関しては、多様体基礎を開いてみると、実に1章にわたって接ベクトルが何なのかが解説されており、非常にわかりやすかった。
わかりやすい一方で、（当時の私にとっては）すごく興味がある定理はなかった。微分形式のストークスの定理には非常に感動はしたが、微分形式の代数的な演算になにか騙されているような何とも言えない感覚を味わった。
そんな多様体の基礎だが、今まで得体の知れない多様体というものを、この本のおかげで「多様体？あぁ、あれね」（二回目）という感覚になれた。
関数論演習
複素解析の演習書である。
複素解析は大学の講義ベースで勉強していたため、あまり思い入れのある本はなく、院試前に一通り解いた演習書のこの本が一番思い入れがある。
当時の大学院入試ではよく留数計算の問題が出されていたため（今もそうな気はするが）、そこを重点的に解いていた。留数定理を使う問題は気に入っており、一見普通の積分で解けそうなところをうまく複素平面のルートを選んで留数計算に持ち込むような問題が好きだった。
そんな理由もあり、よく解いていたこの本を紹介。
代数の世界
代数学の本。
群環体を一通り学べて、5次方程式の解の公式がないことが学べる。
学部三年の時に購入。講義の指定参考書だった。
指定参考書ではあったが、基本的に講義ベースで勉強していたため、実際には辞書的に参照するような形であったが、この本はわかりやすかった。
当時、最終的には S_5 が可解でないことから五次方程式の解の公式が存在しない。という流れは理解していたのだが、今思い起こすと細部は再生できない。
いつか時間を見つけてもう一度勉強したいと思う。
Partial Differential Equations, Evans, Amer Mathematical Society
学部四年生の時に購入。
研究室配属されたときのゼミで読む本だった。
結局1年で半分も読み終わらなかったが、熱方程式、ラプラス方程式、波動方程式の基本的なところを学ぶことが出来た。
後から、一応ソボレフ空間の章なども読んだのだが、この本で勉強したというよりかは後で紹介する jurgen jost の本で勉強したという記憶が強い。
そんな本ではあるのだが、私はこの非常に分厚い本を持って毎日大学に通っていたためなんだかんだ思い入れがある。この本も、時間が出来たら読破したい（内容的にはほとんど既知の範囲かもしれないが）。
ポストモダン解析学 Jugen Jost 丸善出版
学部4年生ごろに購入。
学部1年生から楕円型偏微分方程式の基礎くらいまでを網羅しているすごい本ということで購入。当時は第1版とかで誤植だらけだった。
後半の L^p やソボレフ空間、楕円型偏微分方程式の章を読んだ。
前述に記載のとおり、誤植が多かったのだが、和書でここら辺が記載されている本がほとんどなかったため大変参考になったし、この本のおかげで楕円型の方程式に興味を持った。
大学院時代にはこの本ベースでほかの分野の人に教えあうゼミを行ったこともあり、非常に思い入れがある。
Partial Differential Equations, Jurge Jost, Springer
こちらも引き続き jost の本。
偏微分方程式が良くまとまった本だった。
学部4年の後半に購入。大学院に行くゼミの人たちと読み進めていた。
週に二回で半年かけて7割くらいまで読んだと思う。当時、ゼミのみんなでかなり頑張って読んだと思う。
ポストモダン解析学と重複する内容があるが、こちらのほうが偏微分方程式に特化しており、内容が豊富だった。特に正則性に関する話が多く、方程式の滑らかさが境界の滑らかさと密接にかかわっていることが新鮮だった。
